Question

（2012•順義區(qū)二模）已知：如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BC=2，sin

1

2

∠APC=

1

3

，求PC的長及點(diǎn)C到PA的距離．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由BC∥OP，∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1=∠3，得到∠2=∠4，易證得△POC≌△POA，則∠PCO=∠PAO，由PA切⊙O于點(diǎn)A，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=90°，則有∠PCO=90°，根據(jù)切線的判定得到PC與⊙O相切；
（2）連AC、過點(diǎn)C作CD⊥PA于D，由△POC≌△POA，則∠5=∠6=

1

2

∠APC，于是有sin∠5=sin

1

2

∠APC=

1

3

，利用互余公式得到cos∠2=sin∠5=

1

3

，則cos∠3=

1

3

，由于AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，然后利用余弦的定義可計(jì)算出AB=6，利用勾股定理可計(jì)算出AC=4

2

，且OC=3，在Rt△POC中，OC=3，sin∠5=

1

3

=

OC

OP

，可計(jì)算出OP，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出PC的長；在Rt△CAD中，利用cos∠8=

AD

AC

=

AD

4 2

=

1

3

可計(jì)算得到AD，然后再根據(jù)勾股定理即可計(jì)算出CD的長．

解答：解：（1）直線PC與⊙O相切．理由如下：
連接OC，
∵BC∥OP，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
又∵OC=OA，OP=OP，
∴△POC≌△POA，
∴∠PCO=∠PAO．
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴∠PAO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC與⊙O相切；
（2）連AC，如圖，
∵△POC≌△POA，
∴∠5=∠6=

1

2

∠APC，
∴sin∠5=sin

1

2

∠APC=

1

3

，
∵∠PCO=90°，
∴∠2+∠5=90°，
∴cos∠2=sin∠5=

1

3

，
∵∠3=∠1=∠2，
∴cos∠3=

1

3

，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴cos∠3=

BC

AB

=

2

AB

=

1

3

，
∴AB=6，
∴OA=OB=OC=3，AC=

AB2-BC2

=4

2

，
在Rt△POC中，OC=3，sin∠5=

1

3

=

OC

OP

，
∴OP=9，
∴PC=

OP2-OC2

=6

2

，
過點(diǎn)C作CD⊥PA于D，
∵∠ACB=∠PAO=90°，
∴∠3+∠7=90°，∠7+∠8=90°．
∴∠3=∠8．
∴cos∠8=cos∠3=

1

3

，
在Rt△CAD中，cos∠8=

AD

AC

=

AD

4 2

=

1

3

，
∴AD=

4 2

3

，
∴CD=

AC2-AD2

=

16

3

，
即點(diǎn)C到PA的距離為

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直線；直角所對(duì)的圓周角為直角；常用三角函數(shù)和勾股定理解決圓的計(jì)算問題．