Question

已知：如圖，在正五邊形ABCDE中，對角線AC、BE交于F．

求證：CF²=CA·AF．

 

Answer 1

答案：
解析：

作五邊形ABCDE的外接圓． ∵　∠BAC=∠ACB=∠ABF，∴　△ABF∽△ACB． ∴　AF：AB=AB：AC．∴　AB2=CA·AF． 在△CBF中，∠BCF=36°，∠CBF=72°． ∴　∠BFC=180°-(∠BCF+∠CBF)=72° ∴　CF=CB．又AB=CB，∴　CF=AB．∴　CF2=CA·AF．

提示：

欲證CF2=CA·AF，需證．AF、CA分別是△ABF和△ACB的邊，只要證明△ABF∽△ACB，便可得含AC、AF的表達式，而△ABF和△ACB有公共角∠FAB，因此只要∠ABE=∠ACB即可．由條件可知ABCDE為正五邊形，所以存在一個外接圓，故作它的外接圓，有∠ABE=∠ACB．所以△ABF∽△ACB，則有AB2=CA·AF．因此只需證出CF=AB即可． 由于正多邊形都有外接圓，故作正五邊形的外接圓．這樣就為證題提供了寶貴的外在條件．