Question

如圖，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，OA=4，AB=OB=

5

．將△ABO繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₁B₁O，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₂B₂O．拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)B、B₁兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)B₂是否在此拋物線(xiàn)上，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在該拋物線(xiàn)上找一點(diǎn)P，使得△PBB₂是以BB₂為底的等腰三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）在該拋物線(xiàn)上，是否存在兩點(diǎn)M、N，使得原點(diǎn)O是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)？若存在，直接寫(xiě)出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)不難得出B1的橫坐標(biāo)的就是B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而B(niǎo)₁的縱坐標(biāo)就是B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，由此可求出B₁的坐標(biāo)，同理可求出B2的坐標(biāo)，然后將這B、B₁點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中，即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)（1）求出的B2和拋物線(xiàn)的解析式即可判斷出B₂是否在拋物線(xiàn)上．
（3）已知了等腰三角形是以BB₂為底，因此P點(diǎn)必為BB2的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，可先求出BB₂的垂直平分線(xiàn)的解析式，然后聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式即可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）由題意可知：M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么可設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x，y），（-x，-y），由于兩點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，因此可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，可得出一個(gè)關(guān)于x、y的方程組，即可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：
（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E，
∵AB=OB，
∴OE=

1

2

OA=2．
又OB=

5

，
∴BE=

OB2-OE2

=1．
∴B（-2，1）．（1）
∴B₁（1，2），B₂（2，-1）．
∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)B、B₁兩點(diǎn)，
∴

4a-2b+3=1 a+b+3=2

．
解得

a=- 2 3 b=- 1 3

．
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-

2

3

x²-

1

3

x+3．

（2）∵當(dāng)x=2時(shí)，y=-

2

3

×2²-

1

3

×2+3=-

1

3

≠-1，
∴點(diǎn)B₂（2，-1）不在此拋物線(xiàn)上．

（3）點(diǎn)P應(yīng)在線(xiàn)段BB₂的垂直平分線(xiàn)上，由題意可知，OB₁⊥BB₂且平分BB₂，
∴點(diǎn)P在直線(xiàn)OB₁上．
可求得OB₁所在直線(xiàn)的解析式為y=2x．
又點(diǎn)P是直線(xiàn)y=2x與拋物線(xiàn)y=-

2

3

x²-

1

3

x+3的交點(diǎn)，
由

y=2x y=- 2 3 x2- 1 3 x+3

．
解得

x1=1 y1=2

，

x2=- 9 2 y2=-9

．
∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，P₁（1，2），P₂（-

9

2

，-9）．

（4）存在．（-

3 2

2

，

2

2

）（

3 2

2

，-

2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的判定等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．