Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=

3

4

，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q、R分別在線段BC，AC上，且使得四邊形APQR是矩形．設(shè)AP的長是x，矩形APQR面積為y，已知y是x的函數(shù)，其圖象是過點(diǎn)（12，36）的拋物線上的一部分．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)AP為何值時(shí)，矩形APQR的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)三角函數(shù)的定義利用x以及AC的長表示出y與x的函數(shù)關(guān)系，然后把（12，36）代入解析式即可求得AC的長，然后利用三角函數(shù)即可求得AB的長；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）∵tanB=

3

4

，
∴

AC

AB

=

3

4

，
∵矩形APQR中AB∥QR，
∴∠RQC=∠B，
∴tan∠RQC=tanB=

3

4

，
∴

RC

QR

=

3

4

，
則RC=

3

4

x，AR=AC-

3

4

x，
則y=x（AC-

3

4

x），把（12，36）代入得：12（AC-

3

4

×12）=36，
解得：AC=12，
則AB=16；

（2）函數(shù)的解析式是：y=-

3

4

x²+12x，
則當(dāng)x=

12

3 2

=8時(shí)，函數(shù)值最大，最大值是：-

3

4

×8²+12×8=48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的定義，以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出y與x的函數(shù)解析式是關(guān)鍵．