Question

已知：Rt△ABC斜邊上的高為2.4，將這個(gè)直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合，直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1.8，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式；
（2）如圖①，點(diǎn)M為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），MN∥AC，交線段BC于點(diǎn)N，MP∥BC，交線段AC于點(diǎn)P，連接PN，△MNP是否有最大面積？若有，求出△MNP的最大面積；若沒有，請說明理由；
（3）如圖②，直線l是經(jīng)過點(diǎn)C且平行于x軸的一條直線，如果△ABC的頂點(diǎn)C在直線l上向右平移m，（2）中的其它條件不變，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題須先證出△AOC∽△COB，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式．
（2）本題須先根據(jù)△MNB∽△ACB，得出

MN

NB

=

AC

CB

=

3

4

，再表示出CN的長，然后代入四邊形MNCP的面積為3x（4-4x），從而得出S=-6（x-

1

2

）²+

3

2

，即可求出
△MNP面積的最大值為．
（3）本題須先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出則△MNP的面積，然后求出△MNP面積的最大值即可得出正確結(jié)論．

解答：解：（1）∵AC⊥BC，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴

AO

CO

=

OC

OB

∵AO=1.8，則OC=2.4，
∴

1.8

2.4

=

2.4

OB

解得OB=3.2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3.2，0）
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得y=-

5

12

x2+

7

12

x+

12

5

（2）用勾股定理求出AC=3，BC=4，
∵AC⊥BC，MN∥AC，MP∥BC，
∴四邊形MNCP為矩形，且△MNB∽△ACB，

MN

NB

=

AC

CB

=

3

4

設(shè)MN=3x，則NB=4x，得CN=4-4x
∴四邊形MNCP的面積為3x（4-4x），從而△MNP的面積是：
S=

1

2

×3x（4-4x）
=-6x²+6x
=-6（x-

1

2

）²+

3

2

當(dāng)x=

1

2

，△MNP面積的最大值為

3

2

；

（3）∵l∥AB，
∴△ABC的面積（2）中△ABC的面積相等為6，
由MN∥AC，MP∥BC，得△MNB∽△ACB，△MAP∽△BAC
則

△MBN的面積

△ABC的面積

=(

MB

AB

)2，

△MAP的面積

△BAC的面積

=(

AM

AB

)2
設(shè)MB=x，則AM=5-x，
∴△MBN的面積是；

6

25

x²，△MAP的面積是：

6(5-x)2

25

，
∴△MNP的面積是：
S=

1

2

（△ABC的面積-△MBN的面積-△MAP的面積）
=-

6

25

x2+

6

5

x
=-

6

25

(x-

5

2

)2+

3

2

，
當(dāng)x=

5

2

，即MB為

5

2

時(shí)，△MNP面積的最大值為

3

2

，
∴（2）中的結(jié)論仍然成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意把二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．