Question

（1）完成下面的證明：
已知：如圖1，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD．
求證：∠EGF=90°．
證明：∵HG∥AB，（已知） 
∴∠1=∠3． （

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

 ）
又∵HG∥CD，（已知）
∴∠2=∠4．  （

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

）
∵AB∥CD，（已知）
∴∠BEF+

∠EFD

=180°．（

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

）
又∵EG平分∠BEF，（已知）
∴∠1=

1

2

∠

BEH

．（

角平分線定義

）
又∵FG平分∠EFD，（已知）
∴∠2=

1

2

∠

EFD

．（

角平分線定義

）
∴∠1+∠2=

1

2

（

∠BEH

+

∠EFD

）．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠3+∠4=90°．（

等量代換

）．即∠EGF=90°．
（2）如圖2，已知∠ACB=90°，那么∠A的余角是哪個(gè)角呢？答：

∠B

；
小明用三角尺在這個(gè)三角形中畫了一條高CD（點(diǎn)D是垂足），得到圖3，
①請(qǐng)你幫小明在圖中畫出這條高；
②在圖中，小明通過仔細(xì)觀察、認(rèn)真思考，找出了三對(duì)余角，你能幫小明把它們寫出來嗎？答：a

∠ACD與∠BCD

；b

∠A與∠ACD

；c

∠B與∠BCD

．
③∠ACB，∠ADC，∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB，小明還發(fā)現(xiàn)了另外兩對(duì)相等的角，請(qǐng)你也仔細(xì)地觀察、認(rèn)真地思考分析，試一試，能發(fā)現(xiàn)嗎？把它們寫出來，并請(qǐng)說明理由．
（3）在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成OA₁B₁，第二次將△OA₁B₁變換成△OA₂B₂，第三次將△OA₂B₂變換成△OA₃B₃，已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．
①觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此規(guī)律再將△OA₃B₃變換成△OA₄B₄，則A₄的坐標(biāo)為

（16，3）

，B₄的坐標(biāo)為

（32，0）

．
②按以上規(guī)律將△OAB進(jìn)行n次變換得到△A_nB_n，則可知A_n的坐標(biāo)為

（2ⁿ，3）

，B_n的坐標(biāo)為

（2ⁿ⁺¹，0）

．
③可發(fā)現(xiàn)變換的過程中A、A₁、A₂、…、A_n縱坐標(biāo)均為

3

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，結(jié)合圖形填空即可；
（2）利用三角尺的直角作出高線，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)解答；
（3）觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A系列的橫坐標(biāo)是2的指數(shù)次冪，指數(shù)為腳碼序號(hào)，縱坐標(biāo)都是3；點(diǎn)B系列的橫坐標(biāo)是2的指數(shù)次冪，指數(shù)是腳碼加1，縱坐標(biāo)是0，根據(jù)此規(guī)律解答．

解答：解：（1）答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠EFD，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；BEH，角平分線定義；EFD，角平分線定義；∠BEH，∠EFD，等量關(guān)代換；

（2）①如圖所示，∠B，

 ②a、∠ACD與∠BCD；b、∠A與∠ACD；c、∠B與∠BCD；
③∠BCD=∠A，∠ACD=∠B，
理由如下：∵∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；

（3）①（16，3）（32，0），②（2ⁿ，3）（2ⁿ⁺¹，0）③3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，利用三角尺作三角形的高線，直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形規(guī)律的探討，綜合性較強(qiáng)，對(duì)同學(xué)們的能力要求較高，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣是解題的關(guān)鍵．