Question

如圖，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，將△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限的點(diǎn)C處，已知B點(diǎn)坐標(biāo)是（2

3

，2）；一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)O、C、A三個(gè)點(diǎn)．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）直線OC上是否存在點(diǎn)Q，使得△AQB的周長(zhǎng)最��？若存在請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若拋物線的對(duì)稱軸交OB于點(diǎn)D，設(shè)P為線段DB上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PM∥y軸交拋物線于點(diǎn)M，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，根據(jù)AB的長(zhǎng)和∠BOA的度數(shù)，可求得OA的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過(guò)C作CD⊥x軸于D，即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長(zhǎng)求得CD、OD的值，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式；
（2）作出A關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)，連接AA′，與OC的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，求出OC與AA′的解析式，解方程組即可；
（3）根據(jù)（2）所得拋物線的解析式可得到其頂點(diǎn)的坐標(biāo)（即C點(diǎn)），設(shè)直線MP與x軸的交點(diǎn)為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據(jù)∠PON的度數(shù)，易得PN、ON的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和拋物線的解析式可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，過(guò)M作ME⊥CD（即拋物線對(duì)稱軸）于E，過(guò)P作PQ⊥CD于Q，若四邊形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根據(jù)C、M、P、D四點(diǎn)縱坐標(biāo)，易求得CE、QD的長(zhǎng)，聯(lián)立兩式即可求出此時(shí)t的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2

3

；
由折疊的性質(zhì)知：∠COB=30°，OC=AO=2

3

，
∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3；
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3）．
∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)C（

3

，3）、A（2

3

，0）兩點(diǎn)，
∴

3=3a+ 3 b 0=12a+2 3 b

，
解得

a=-1 b=2 3

；
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2

3

x．

（2）作A關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)A′，BA′交OC于點(diǎn)Q．
∵B點(diǎn)坐標(biāo)是(2

3

，2)
∴tan∠BOA=

2

2 3

=

3

3

∴∠BOA=30°
∴∠BOC=30°，
∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，
∴OA′與y軸的夾角是30°．
又∵OA=OA′=2

3

，
∴A′的坐標(biāo)是：（-

3

，3）
設(shè)直線A′B的解析式是y=kx+b
根據(jù)題意得：

k=- 3 9 b= 8 3

則直線A′B的解析式是y=-

3

9

x+

8

3

．
直線OC的解析式是：y=

3

x．
解方程組：

y=- 3 9 x+ 8 3 y= 3 x

解得：

x= 4 3 5 y= 12 5

故Q的坐標(biāo)是：（

4 3

5

，

12

5

）．
（3）存在．
因?yàn)閥=-x²+2

3

x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，3），
即為點(diǎn)C，MP⊥x軸，垂足為N，設(shè)PN=t；
因?yàn)椤螧OA=30°，
所以O(shè)N=

3

t，
∴P（

3

t，t）；
作PF⊥CD，垂足為F，ME⊥CD，垂足為E；
把x=

3

t代入y=-x²+2

3

x，
得y=-3t²+6t，
∴M（

3

t，-3t²+6t），E（

3

，-3t²+6t），
同理：F（

3

，t），D（

3

，1）；
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=FD，
即3-（-3t²+6t）=t-1，
解得t=

4

3

，t=1（舍），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

3

，

4

3

），
∴存在滿足條件的P點(diǎn)，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

3

3

，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大