Question

【題目】新定義：如圖（1）和圖（2）中，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，如果＝2或＝，稱(chēng)點(diǎn)P是線段AB的強(qiáng)弱點(diǎn)．

（1）如圖2，在Rt△APB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，問(wèn)：點(diǎn)B是否是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B是線段AC的強(qiáng)弱點(diǎn)（BA＞BC），BD是Rt△ABC的角平分線，求證：點(diǎn)D是線段AC上的強(qiáng)弱點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）在Rt△PAB中，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：AB和PB的關(guān)系，由新定義即可解決問(wèn)題；

（2）如圖3中，由B是線段AC的強(qiáng)弱點(diǎn)（BA＞BC），推出AB＝2BC，可得∠A＝30°，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定，直角三角形30度角的性質(zhì)可得AD＝2CD，解決問(wèn)題.

（1）解：點(diǎn)B是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)，理由是：

如圖2中，

在Rt△PAB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，

∴AB＝2PB，

∴＝2，

∴點(diǎn)B是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)；

（2）證明：如圖3中，

∵B是線段AC的強(qiáng)弱點(diǎn)（BA＞BC），

∴AB＝2BC，

Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ABC＝60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°＝∠A，

∴AD＝BD，

Rt△BCD中，BD＝2CD，

∴＝2，

∴點(diǎn)D是線段AC上的強(qiáng)弱點(diǎn)．