Question

【題目】如圖，中，，過點作的平行線與的平分線交于點，連接．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）連接與交于點，過點作的延長線交于點，連接，若，，直接寫出的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD＝BC，由菱形的判定可證四邊形ABCD是菱形；

（2）由菱形的性質(zhì)及勾股定理可求OD＝OB＝2，由直角三角形的性質(zhì)可求OE的長．

（1）證明：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB

∴AB＝AD，

又∵AB＝BC，

∴AD＝BC，

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AB＝BC，

∴平行四邊形ABCD是菱形，

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝2，

∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD＝BD，

即點O為BD的中點，

又∵，

∴在Rt△BOC中，，

∴BD＝2OB＝4，

∵DE⊥BC，

∴∠BED＝90°，

又∵點O為BD的中點，

∴OE＝BD＝2．