Question

(2006山西課改，26)(14分)如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A(－4，0)，B(－2，0)，E(0，8)．

(1)求拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，拋物線與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S．若點(diǎn)A、點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止．求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；

(4)在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)點(diǎn)A(－4，0)，點(diǎn)B(－2，0)，點(diǎn)E(0，8) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為D(4，0)，C(2，0)，F(0，－8)． 設(shè)拋物線的解析式是 (a≠0)， 則解得 所以所求拋物線的解析式是． (2)由(1)可計(jì)算得點(diǎn)M(－3，－1)，N(3，1) 過點(diǎn)N作NH⊥AD，垂足為H． 當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻t時(shí)，AD=2OD=8－2t，NH=1＋2t． 根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)OA=OD，OM=ON，所以四邊形MDNA是平行四邊形．所以． 所以，四邊形MDNA的面積． 因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止，據(jù)題意可知0≤t＜4． 所以，所求關(guān)系式是，t的取值范圍是0≤t＜4． (3)，(0≤t＜4)． 所以時(shí)，S有最大值． (4)在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形MDNA能形成矩形． 由(2)知四邊形MDNA是平行四邊形，對(duì)角線是AD、MN，所以當(dāng)AD=MN，時(shí)四邊形MDNA是矩形． 所以OD=ON．所以． 所以．解之得，(舍)． 所以在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時(shí)．

提示：

也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求．