【題目】如圖,點(diǎn)D在⊙O上,過點(diǎn)D的切線交直徑AB的延長線于點(diǎn)P,DC⊥AB于點(diǎn)C.
(1)求證:DB平分∠PDC;
(2)如果DC = 6,,求BC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)連結(jié)OD,如圖,利用切線性質(zhì)得∠ODB+∠PDB=90°,由CD⊥OB得∠CDB+∠DBC=90°,加上∠ODB=∠OBD,于是得到∠CDB=∠PDB,即DB平分∠PDC;
(2)作BE⊥PD,如圖,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到BC=BE,在Rt△PDC中,利用三角函數(shù)的定義計(jì)算PC=8,則利用勾股定理可計(jì)算出PD=10,設(shè)BC=x,則BE=x,PB=8-x,通過證明Rt△PBE∽Rt△PDC,利用相似比得到x:6=(8-x):10,然后根據(jù)比例性質(zhì)求出x即可.
(1)證明:如圖,連接OD.
∵ DP是⊙O的切線,
∴ OD⊥DP,
∴ ,
∴ ,
又 ∵DC⊥OB,
∴ ,
∴,
∵OD=OB,
∴,
∴,
∴DB平分∠PDC;
(2)如圖,過點(diǎn)B作BE⊥DP于點(diǎn)E.
∵,BC⊥DC,
∴BC=BE,
∵DC=6,,
∴DP=10,PC=8,
設(shè)CB = x,則BE = x,BP = 8 – x,
∵ △PEB∽△PCD,
∴ ,
∴x=3,
∴ 的長為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn).F是線段BC延長線上一點(diǎn),且CF=AE連接BE
(1)發(fā)現(xiàn)問題:如圖①,若E是線段AC的中點(diǎn),連接EF,其他條件不變,猜想線段BE與EF的數(shù)量關(guān)系
(2)探究問題:如圖②,若E是線段AC上任意一點(diǎn),連接EF,其他條件不變,猜想線段BE與EF的數(shù)量關(guān)系是什么?請(qǐng)證明你的猜想
(3)解決問題:如圖③,若E是線段AC延長線上任意一點(diǎn),其他條件不變,且∠EBC=30°,AB=3請(qǐng)直接寫出AF的長度
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)、(左右),與軸交于點(diǎn),連接、,若,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.點(diǎn)坐標(biāo)C.D.對(duì)稱軸
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O、點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合,則∠CEF的度數(shù)是( 。
A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,連接EC,則:
(1)①∠ACE的度數(shù)是 ; ②線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,請(qǐng)判斷線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖②,AC與DE交于點(diǎn)F,在(2)條件下,若AC=8,求AF的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 已知二次函數(shù)(,,為常數(shù))的對(duì)稱軸為,與軸的交點(diǎn)為,的最大值為5,頂點(diǎn)為,過點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線交于點(diǎn),.
(1)求該二次函數(shù)的解析式和點(diǎn),的坐標(biāo).
(2)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與相似,求出所有點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某地區(qū)七年級(jí)學(xué)生對(duì)新聞、體育、動(dòng)畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況,從該地區(qū)隨機(jī)抽取部分七年級(jí)學(xué)生作為樣本,采用問卷調(diào)查的方法收集數(shù)據(jù)(參與問卷調(diào)查的每名同學(xué)只能選擇其中一類節(jié)目),并調(diào)查得到的數(shù)據(jù)用下面的表和扇形圖來表示(表、圖都沒制作完成)
根據(jù)表、圖提供的信息,解決以下問題:
(1)計(jì)算出表中a、b的值;
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“動(dòng)畫”部分所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù);
(3)若該地區(qū)七年級(jí)學(xué)生共有47500人,試估計(jì)該地區(qū)七年級(jí)學(xué)生中喜愛“新聞”類電視節(jié)目的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=4,M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),N是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn),則MN+MC的最小值為_____.
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