Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，sin∠ABC=

3

2

．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），連接EF，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF為直角三角形；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠ABC=

3

2

，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，AB=2BC=4cm，
∴OA=

AB

2

=

4

2

=2cm，即r=2cm；

（2）①當(dāng)EF⊥BC時(shí)．
因?yàn)锳B為⊙O直徑，
所以∠C=90°，
當(dāng)EF⊥BC，
則有△EBF∽△ABC，
于是

BF

BC

=

BE

BA

，
即

t

2

=

4-2t

4

，
解得t=1．
②當(dāng)EF⊥AB時(shí)．
則有△EBF∽△BCA，
于是

EB

CB

=

BF

AB

，
即

t

4

=

4-2t

2

，
解得t=

8

5

．

所以，當(dāng)t=1s或

8

5

s時(shí)，△BEF為直角三角形．

（3）作△BFE的BE邊上的高FG．
則FG=BF•sin∠ABC=

3

2

t．
S_△EFB=

1

2

EB•FG=

1

2

（4-2t）

3

2

t=-

3

2

t²+

3

t，
當(dāng)t=-

3

2×(- 3 2 )

=1時(shí)，S_△EFB取得最大值，為S_最大=-

3

2

+

3

=

3

2

．