Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上．

⑴求證：△ADE≌△BGF；
⑵若正方形DEFG的面積為16，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）cm．

試題分析：（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠A=45°，再根據(jù)四邊形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，由正方形DEFG的面積為16cm2可求出其邊長(zhǎng)，故可得出AB的長(zhǎng)，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理可求出AD的長(zhǎng)，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AC的長(zhǎng)．
試題解析：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠BFG=∠AED=90°，
故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，
∵在△ADE與△BGF中，
，
∴△ADE≌△BGF（ASA）；
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)H，

∵正方形DEFG的面積為16cm2，
∴DE=AE=4cm，
∴AB=3DE=12cm，
∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴AH=AB=×12=6cm，
在Rt△ADE中，
∵DE=AE=4cm，
∴AD=cm，
∵CH⊥AB，DE⊥AB，
∴CH∥DE，
∴△ADE∽△ACH，
∴，即，
解得：AC=cm．
考點(diǎn): 1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.等腰直角三角形．