【題目】如圖,Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標系中,直角邊OA與x軸重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置,一條拋物線正好經(jīng)過點O,C,A三點.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)在x軸上方的拋物線上有一動點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點M,分別過點P,點M作x軸的垂線,交x軸于E,F(xiàn)兩點,問:四邊形PEFM的周長是否有最大值?如果有,請求出最值,并寫出解答過程;如果沒有,請說明理由.

(3)如果x軸上有一動點H,在拋物線上是否存在點N,使O(原點)、C、H、N四點構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形?若存在,求出N點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)、y=﹣x2+4x;(2)10;(3)、N12+2,﹣4),N22﹣2,﹣4

【解析】試題分析:(1)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標和A的坐標,又因為拋物線經(jīng)過原點,故設y=ax2+bx把(24),(40)代入,求出ab的值即可求出該拋物線的解析式;(2)、四邊形PEFM的周長有最大值,設點P的坐標為Pa﹣a2+4a)則由拋物線的對稱性知OE=AF,所以EF=PM=4﹣2aPE=MF=﹣a2+4a,則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+﹣a2+4a]=﹣2a﹣12+10,利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值;(3)、在拋物線上存在點N,使O(原點)、CH、N四點構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形,由(1)可求出拋物線的頂點坐標,過點Cx軸的平行線,與x軸沒有其它交點,過y=﹣4x軸的平行線,與拋物線有兩個交點,這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4,解方程即可求出交點坐標.

試題解析:(1)、因為OA=4,AB=2,把△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°

可以確定點C的坐標為(2,4);由圖可知點A的坐標為(40),

又因為拋物線經(jīng)過原點,故設y=ax2+bx把(2,4),(4,0)代入,得,解得

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x;

(2)、四邊形PEFM的周長有最大值,理由如下:

由題意,如圖所示,設點P的坐標為Pa,﹣a2+4a)則由拋物線的對稱性知OE=AF,

∴EF=PM=4﹣2a,PE=MF=﹣a2+4a,

則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+﹣a2+4a]=﹣2a﹣12+10,

a=1時,矩形PEFM的周長有最大值,Lmax=10;

(3)、在拋物線上存在點N,使O(原點)、CH、N四點構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形,理由如下:

∵y=﹣x2+4x=﹣x﹣22+4可知頂點坐標(2,4),

知道C點正好是頂點坐標,知道C點到x軸的距離為4個單位長度,

過點Cx軸的平行線,與x軸沒有其它交點,過y=﹣4x軸的平行線,與拋物線有兩個交點,

這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+x2=2﹣

∴N點坐標為N12+,﹣4),N22﹣﹣4).

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