如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的象經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、N(2,精英家教網(wǎng)3)三點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并寫出頂點(diǎn)M及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點(diǎn),且與x軸交于點(diǎn)D,試證明四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)點(diǎn)P是這個(gè)二次函數(shù)的對稱軸上一動點(diǎn),請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切?如果存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)題意將點(diǎn)A,B,N的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,組成方程組即可求得;
(2)求得點(diǎn)C,M的坐標(biāo),可得直線CM的解析式,可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),即可得到CD=3
2
,AN=3
2
,AD=2,CN=2,根據(jù)平行四邊形的判定定理可得四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切,因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1,故可設(shè)P(1,y0),則PA是圓的半徑且PA2=y02+22,
過P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切.
由第(2)小題易得:△MDE為等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,繼而求得滿足題意的點(diǎn)P存在,其坐標(biāo)為(1,-4+2
6
)或(1,-4-2
6
).
解答:解:(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)、N(2,3)
所以,可建立方程組:
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=4a+2b+c
,
解得:
a=-1
b=2
c=3

所以,所求二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,
所以,頂點(diǎn)M(1,4),點(diǎn)C(0,3).

(2)直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點(diǎn),
所以
d=3
k+d=4

即k=1,d=3,
直線解析式為y=x+3.
令y=0,得x=-3,
故D(-3,0)
∴CD=3
2
,AN=3
2
,AD=2,CN=2
∴CD=AN,AD=CN(2分)
∴四邊形CDAN是平行四邊形.

(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切,
因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1,
故可設(shè)P(1,y0),
則PA是圓的半徑且PA2=y02+22
過P做直線CD的垂線,垂足為Q,則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切.
由第(2)小題易得:△MDE為等腰直角三角形,
故△PQM也是等腰直角三角形,
由P(1,y0)得PE=y0,PM=|4-y0|,PQ=
PM
2
=
|4-y0|
2

由PQ2=PA2得方程:
(4-y0)2
2
=y02+22
,
解得y0=-4±2
6
,符合題意,
所以,滿足題意的點(diǎn)P存在,其坐標(biāo)為(1,-4+2
6
)或(1,-4-2
6
).
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)與平行四邊形以及圓的知識的綜合應(yīng)用,要注意待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,1),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(
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2
13
4
),B點(diǎn)在y軸上,直線與x軸的交點(diǎn)為F,P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn).
(1)求k,m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)線段PE的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn),在線段AB上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的精英家教網(wǎng)三角形與△BOF相似?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求此二次函數(shù)的解析式,并寫出它的對稱軸;
(2)若直線l:y=kx(k>0)與線段BC交于點(diǎn)D(不與點(diǎn)B,C重合),則是否存在這樣的直線l,使得以B,O,D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若直線l′:y=m與該拋物線交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長度.
精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,0),直線y=x+b與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)B在y軸上.點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P與A、B不重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E.
(1)求b的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)設(shè)線段PE的長為h,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)若點(diǎn)D為直線AB與該二次函數(shù)的圖象對稱軸的交點(diǎn),則四邊形DCEP能否構(gòu)成平行四邊形?如果能,請求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不能,請說明理由.
(4)以PE為直徑的圓能否與y軸相切?如果能,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)C(0,-5).
(1)求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)在上面所求二次函數(shù)的對稱軸上存在一點(diǎn)P(2,-2),連接OP,找出x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo),使得△OPM是等腰三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•衡水一模)如圖,已知二次函數(shù)y=-
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x2+bx+c
的圖象經(jīng)過A(2,0)、B(0,-6)兩點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連接BA、BC,求△ABC的面積;
(3)若拋物線的頂點(diǎn)為D,在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使得△PAD的周長最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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