Question

如圖，△ABC中，E是AC上一點，且AE=AB，∠EBC=∠BAC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，交EB于點F．
（1）求證：BC與⊙O相切；
（2）若AB=8，sin∠EBC=，求AC的長．

Answer 1

（1）證明：連接AF．
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°．
∵AE=AB，
∴△ABE為等腰三角形．
∴∠BAF=∠BAC．
∵∠EBC=∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．
∴∠ABC=90°．
即AB⊥BC，
∴BC與⊙O相切．

（2）解：過E作EG⊥BC于點G，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=．
在△AFB中，∠AFB=90°，
∵AB=8，
∴BF=AB•sin∠BAF=8×=2，
∴BE=2BF=4．
在△EGB中，∠EGB=90°，
∴EG=BE•sin∠EBC=4×=1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴．
∴，
∴CE=，
∴AC=AE+CE=8+=．
分析：（1）首先連接AF，由AB為直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC=∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠BAF=∠EBC，繼而證得BC與⊙O相切；
（2）首先過E作EG⊥BC于點G，由三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得BF的長，易證得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．
點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．