Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y＝ax2﹣3ax﹣4a的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)D在二次函數(shù)圖象上，且，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；

（3）將直線BC向下平移，與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點(diǎn)（M在N左側(cè)），如圖2，過M作ME∥y軸，與直線BC交于點(diǎn)E，過N作NF∥y軸，與直線BC交于點(diǎn)F，當(dāng)MN+ME的值最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝，A(﹣1，0)，B(4，0)；（2）2+2或2﹣2或2；（3）M(，﹣)

【解析】

（1）求出a，即可求解；
（2）求出直線BC的解析式，過點(diǎn)D作DH∥y軸，與直線BC交于點(diǎn)H，根據(jù)三角形面積的關(guān)系求解；
（3）過點(diǎn)M作MG∥x軸，交FN的延長線于點(diǎn)G，設(shè)M（m，m-3），N（n，n2-n-3），判斷四邊形MNFE是平行四邊形，根據(jù)ME=NF，求出m+n=4，再確定ME+MN=-m2+3m+5-m=-（m-）2+ ，即可求M；

（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），

∴a＝，

∴y＝，

與x軸交點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴ ，
∴ ，

∴y＝x﹣3；

過點(diǎn)D作DH∥y軸，與直線BC交于點(diǎn)H，

設(shè)H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），

∴DH＝|x2﹣3x|，

∵S△ABC＝，

∴S△DBC＝＝6，

∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6，

∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；

∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2+2，2﹣2，2；

（3）過點(diǎn)M作MG∥x軸，交FN的延長線于點(diǎn)G，

設(shè)M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），

則E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），

∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，

∵EF∥MN，ME∥NF，

∴四邊形MNFE是平行四邊形，

∴ME＝NF，

∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，

∴m+n＝4，

∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，

∴∠NMG＝∠OBC，

∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝ ，

∵B（4，0），C（0，﹣3），

∴OB＝4，OC＝3，

在Rt△BOC中，BC＝5，

∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，

∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)m＝時(shí)，ME+MN有最大值，

∴M（，﹣）