Question

【題目】如圖①，已知A（x，0）在x負(fù)半軸上，B（0，y）在y正半軸上，且x、y滿足+y2﹣2my+m2=0，m＞0．

（1）判斷△AOB的形狀；

（2）如圖②過OA上一點(diǎn)作CD⊥AB于C點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，連接CE、OE，試判斷CE與OE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；（提示：可延長(zhǎng)OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC）

（3）將（2）中的△ACD繞A旋轉(zhuǎn)至D落在AB上（如圖③），其它條件不變，（2）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）△AOB是等腰直角三角形，理由詳見解析；（2）CE=OE，CE⊥OE，理由詳見解析；（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，理由詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由算術(shù)平方根的性質(zhì)和偶次方的非負(fù)性質(zhì)求出x=m，y=m，得出OA=OB，即可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC，由SAS證明△DEF≌△BEO，得出BO=DF，∠FDB=∠OBD，由SAS證明△OCA≌△FCD，得出OC=OF，∠OCA=∠FCD，進(jìn)一步即可得出結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC，同（2）即可得出結(jié)論．

試題解析：(1)△AOB是等腰直角三角形，理由如下：

∵A(x,0)在x負(fù)半軸上,B(0,y)在y正半軸上,且x、y滿足

x<0，y>0，

又

∴x+m=0，ym=0，

∴x=m，y=m，

∴OA=OB,

又

∴△AOB是等腰直角三角形；

(2)CE=OE，CE⊥OE.理由如下：

延長(zhǎng)OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC，如圖②所示：

∵E是BD的中點(diǎn)，

∴DE=BE，

在△FDE和△OBE中,

∴△DEF≌△BEO(SAS)，

∴BO=DF，∠FDB=∠OBD，

∴FD∥OB，

∴FD⊥AO，

∵∠BAO=CD⊥AB，

∴∠CDA==∠CAO=∠CDF，

∴CA=CD，

∵OA=OB，

∴OA=FD，

在△OCA和△FCD中

∴△OCA≌△FCD(SAS)，

∴OC=OF，∠OCA=∠FCD，

∴∠OCF=∠DCA=，

∴∠COF=，

又∵OE=EF，

∴∠OCE=∠OCF=,

∴∠COE=∠ECO=,∠CEO=，

∴CE=OE，CE⊥OE；

(3)(2)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：

延長(zhǎng)OE至F，使OE=EF，連接CF、DF、OC，如圖③所示：

同(1)得：△DEF≌△BEO，

∴BO=DF，∠FDB=∠OBD

∴OA=FD,FD∥OB，

∴FD⊥AO，

∵∠BAO=,CD⊥AC,∠CDA==∠CAD，

∴∠CAO=∠DCA==∠FDC，CA=CD，

在△OCA和△FCD中,

∴△OCA≌△FCD(SAS)，

∴OC=OF，∠OCA=∠FCD，

∴∠OCF=∠DCA=，

∴∠COF=，

又∵OE=EF，

∴∠OCE=∠OCF=

∴∠COE=∠ECO=,∠CEO=，

∴CE=OE，CE⊥OE；