Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點D，E在直線BC上運動．設(shè)BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，當(dāng)α，β滿足怎樣的關(guān)系時，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形ABC的性質(zhì)、三角形外角定理以及等量代換等知識證得△ADB∽△EAC；然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式即，所以y=（x≠0）；
（2）要使，即成立，須且只須△ADB∽△EAC．由于∠ABD=∠ECA，故只須∠ADB=∠EAC．又因為∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°-，∠EAC+∠BAD=β-α，所以90°-=β-α，即β-=90°．
解答：解：（l）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°．
又∵∠DAE=105°．
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=75°，
又∵∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAB+∠ADB，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴即，所以y=（x≠0）；

（2）當(dāng)α、β滿足關(guān)系式β-=90°時，函數(shù)關(guān)系式成立．
理由如下：∵β-=90°，
∴β-α=90°-．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°--∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
=，
∴，所以y=（x≠0）．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；利用兩角對應(yīng)相等得到兩三角形相似是解決本題的關(guān)鍵．