Question

如圖，已知弦AB等于半徑，連接OB并延長使BC=OB．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）請你在⊙O上選取一點D，使得AD=AC．（自己完成作圖，并給出證明過程）

Answer 1

分析：（1）BC=OB=AB，根據(jù)三角形等邊對等角，以及三角形內(nèi)角和定理，即可證明∠OAC=90度，即可得到AC是圓的切線；
（2）①作BO延長線交⊙O于D，連接AD，根據(jù)△AOD≌△ABC即可證得；
②如圖，在圓上取一點D′，使得∠D′OA=120°，連接AD′，根據(jù)△AOD′≌△ABC，即可求證．

解答：（1）證明：∵AB=OB=BC，
∴∠CAB=∠ACB=

1

2

∠OBA=30°，（2分）
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=60°+30°=90°．
即OA⊥CA．
∴AC是⊙O的切線．（4分）

（2）解：①作BO延長線交⊙O于D，連接AD．

CB=BO=OD， AB=AO， ∠CBA=180°-∠ABO=180°-∠BOA=∠AOD

∴△AOD≌△ABC，
∴AD=AC．
所以D點為所求．
②如圖，在圓上取一點D′，使得∠D′OA=120°，連接AD′．

AO=AB BC=OD′ ∠ABC=∠AOD′

∴△AOD′≌△ABC
∴AD′=AC（9分）
所以D′點也為所求．

點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．