【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3(a≠0)的頂點(diǎn)為E,該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且BO=OC=3AO,直線y=﹣x+1與y軸交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)證明:△DBO∽△EBC;
(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△PBC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)詳見(jiàn)解析;(3)符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣).
【解析】
試題分析:(1)先求出點(diǎn)C的坐標(biāo),在由BO=OC=3AO,確定出點(diǎn)B,A的坐標(biāo),最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)先求出點(diǎn)A,B,C,D,E的坐標(biāo),從而求出BC=3,BE=2,CE=,OD=1,OB=3,BD=,求出比值,得到得出結(jié)論;(3)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),表示出PB,PC,求出BC,分三種情況計(jì)算即可.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣3,
∴c=﹣3,
∴C(0,﹣3),
∴OC=3,
∵BO=OC=3AO,
∴BO=3,AO=1,
∴B(3,0),A(﹣1,0),
∵該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),
∴,
∴,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3,
(2)由(1)知,拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴E(1,﹣4),
∵B(3,0),A(﹣1,0),C(0,﹣3),
∴BC=3,BE=2,CE=,
∵直線y=﹣x+1與y軸交于點(diǎn)D,
∴D(0,1),
∵B(3,0),
∴OD=1,OB=3,BD=,
∴,,,
∴,
∴△BCE∽△BDO,
(3)存在,
理由:設(shè)P(1,m),
∵B(3,0),C(0,﹣3),
∴BC=3,PB=,PC=,
∵△PBC是等腰三角形,
①當(dāng)PB=PC時(shí),
∴=,
∴m=﹣1,
∴P(1,﹣1),
②當(dāng)PB=BC時(shí),
∴3=,
∴m=±,
∴P(1,)或P(1,﹣),
③當(dāng)PC=BC時(shí),
∴3=,
∴m=﹣3±,
∴P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣),
∴符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,﹣1)或P(1,)或P(1,﹣)或P(1,﹣3+)或P(1,﹣3﹣).
考點(diǎn):二次函數(shù)的綜合題.
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(2) 當(dāng)∠A=時(shí),求證:四邊形ECBF是菱形.
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A.19,20,14 B.19,20,20 C.18.4,20,20 D.18.4,25,20
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【題目】將拋物線y=x2﹣1向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為( )
A.4
B.6
C.8
D.10
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