Question

已知拋物線y=

1

4

x2+m的頂點(diǎn)為A（0，1）．
（1）求m的值；
（2）如圖1，已知點(diǎn)B（0，2），P是第一象限內(nèi)拋物線上的任意一點(diǎn)，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q．
①求證：PB²=PQ²；（只對PQ＞OB的情況進(jìn)行證明，對PQ≤OB同理可證）
②如圖2，已知點(diǎn)C（1，3），試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得MB+MC取得最小值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出m的值．
（2）①可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)（可先設(shè)橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式表示縱坐標(biāo)），然后根據(jù)坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式來得出PB的長（也可過B作PQ的垂線，通過構(gòu)建直角三角形用勾股定理求解，道理一樣），而PQ的長即為P點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后比較兩者的大小即可．
②本題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)M的位置，要利用好①題的結(jié)論．過M作MN⊥x軸，垂足為N．根據(jù)①的結(jié)論可知：MN=MB；因此MB+MC=MN+MC．過C作CD⊥x軸于D，交拋物線于點(diǎn)M0，根據(jù)①的結(jié)論可知：M₀D=M₀B；
在矩形MNHD中，MN=DH，因此MC+MB=MN+MN=DH+MC，而在直角三角形MHC中，MN≥HC，因此MC+MB=DH+MC≥DH+CH=CD=M₀C+M₀B，由此可得出MC+MB≥M₀C+M0B，那么M₀就是所求的點(diǎn)．因此M₀的橫坐標(biāo)與C點(diǎn)相同，將其代入拋物線的解析式中即可求出M₀的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵1=

1

4

×0²+m，
∴m=1；

（2）①證明：
∵P是拋物線上任意一點(diǎn)且P在第一象限，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，

1

4

a²+1），a＞0，
過B作BN⊥PQ，垂足為N
∴QN=OB=2BN=aPQ=

1

4

a²+1
∴PN=PQ-QN=

1

4

a²+1-2=

1

4

a²-1
∴PB²=BN²+PN²=a²+（

1

4

a²-1）²=

1

16

a⁴+

1

2

a²+1
∵PQ²=（

1

4

a²+1）²=

1

16

a⁴+

1

2

a²+1
∴PB²=PQ²；
②由①知PB=PQ
過M作MN⊥x軸，垂足為N．
∵點(diǎn)M是第一象限內(nèi)上述拋物線上的點(diǎn)，
∴MB=MN．
過C作CD⊥x軸，垂足為D，交拋物線于M₀，
連接M₀B，
∴M₀B=M₀D．
過M作MH⊥CD，垂足為H．
則四邊形MNDH是矩形．
∴MN=DH．
∵CM≥CH，
∴MB+MC=MN+MC=DH+MC≥DH+CH=CD=CM₀+M₀D=M₀C+M₀B
即MB+MC≥M₀B+M₀C．
∴點(diǎn)M₀即為所求的點(diǎn)．
∵點(diǎn)M₀的橫坐標(biāo)為1，
∴M₀（1，

5

4

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，在（2）②中，能夠利用好①題的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．