Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=150°，AB的垂直平分線(xiàn)MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N，若BM=3，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

連接AM，過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BC于點(diǎn)O．（1分）
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角），又∠BAC=150°，
∴∠B=∠C=15°（2分）
∵M(jìn)N是AB的垂直平分線(xiàn)，
∴AM=BM=3．（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）（3分）
∴∠MAB=∠B=15°（等邊對(duì)等角），
∴∠AMO=∠B+∠MAB=30°．（4分）
又∵AO⊥BC，
∴OA=

1

2

AM=

3

2

（直角三角形中，30°的角所對(duì)直角邊等于斜邊一半）（5分）
在Rt△AOM中，由勾股定理，得MO=

AM2-OA2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

．（7分）
∴BO=BM+MO=3+

3 3

2

（8分）
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，而AO⊥BC，
∴BO=OC．（等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)互相重合）（9分）
則BC=2BO=6+3

3

．（10分）