【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(1,0),B(3,0)兩點,且與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點,拋物線的對稱軸DE交x軸于點E,連接BD.

(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式;

(2)點P是線段BD上一點,當PE=PC時,求點P的坐標;

(3)在(2)的條件下,過點P作PFx軸于點F,G為拋物線上一動點,M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,當以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時,請求出點M的坐標.

【答案】1y=x2+2x+3;2(2,2);3,0),(,0),(,0),(,0).

【解析】

試題分析:1利用待定系數(shù)法求出過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式;2連接PC、PE,利用公式求出頂點D的坐標,利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,設出點P的坐標為(x,2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2,根據(jù)題意列出方程,解方程求出x的值,計算求出點P的坐標;3設點M的坐標為(a,0),表示出點G的坐標,根據(jù)正方形的性質列出方程,解方程即可.

試題解析:1拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(1,0),B(3,0)兩點,

解得, 經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式為y=x2+2x+3;

2如圖1,連接PC、PE, x===1, 當x=1時,y=4,

點D的坐標為(1,4), 設直線BD的解析式為:y=mx+n,則, 解得,,

直線BD的解析式為y=2x+6, 設點P的坐標為(x,2x+6),

則PC2=x2+(3+2x6)2,PE2=(x1)2+(2x+6)2, PC=PE,

x2+(3+2x6)2=(x1)2+(2x+6)2 解得,x=2, 則y=2×2+6=2, 點P的坐標為(2,2);

3設點M的坐標為(a,0),則點G的坐標為(a,a2+2a+3),

以F、M、G為頂點的四邊形是正方形, FM=MG,即|2a|=|a2+2a+3|,

當2a=a2+2a+3時, 整理得,a23a1=0, 解得,a=,

當2a=a2+2a+3)時, 整理得,a2a5=0, 解得,a=,

當以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時,點M的坐標為(,0),(,0),(,0),(,0).

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