Question

23、已知：關(guān)于x的一元二次方程x²+2（2-m）x+3-6m=0．
（1）求證：x無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）拋物線y=x²+2（2-m）x+3-6m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A在原點(diǎn)左側(cè)，B在原點(diǎn)右側(cè)，且OA=3OB，請(qǐng)確定拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿x軸方向向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)新的拋物線，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象回答：當(dāng)直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要想證明x無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根，△≥0即可證明；
（2）先解方程，得出兩個(gè)解，再根據(jù)OA與OB的關(guān)系求出m值，即可求出拋物線的解析式；
（3）觀察兩個(gè)拋物線的圖象，便可知道當(dāng)m＞-4且m≠-3時(shí)，直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個(gè)交點(diǎn)．

解答：（1）證明：△=[2（2-m）]²-4（3-6m）
=4（m+1）²（1分）
m為任何實(shí)數(shù)時(shí)，（m+1）²≥0，4（m+1）²≥0．
即：△≥0（2分）
x無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．

（2）解：由題意得，x²+2（2-m）x+3-6m=0
解得，x₁=-3，x₂=2m-1（3分）
A（-3，0）．B（2m-1，0）
∵OA=3OB，
∴3=3（2m-1）
解得，m=（14分）y=x²+2x-3；（5分）

（3）解：由圖象可知，兩個(gè)圖象交于（0，-3）
當(dāng)m＞-4且m≠-3時(shí)，直線y=m與這兩條拋物線有且只有四個(gè)交點(diǎn)．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及的到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和方程有實(shí)數(shù)根的證明知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．