Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，點M，點N同時從點A出發(fā)，點M沿邊AB以4cm/s的速度向點B運動，點N從點A出發(fā)，沿邊AC以3cm/s的速度向點C運動，（點M不與A，B重合，點N不與A，C重合），設(shè)運動時間為xs。  

（1）求證：△AMN∽△ABC；     

（2）當(dāng)x為何值時，以MN為直徑的⊙O與直線BC相切？       

（3）把△AMN沿直線MN折疊得到△MNP，若△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積為y，試求y 關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

 

  

Answer 1

解：（1）∵，∠A=∠A．

          ∴ △AMN ∽ △ABC．                    

（2）在Rt△ABC中，BC ＝=10．

          由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

∴  

∴ ，

∴⊙O的半徑r=

可求得圓心O到直線BC的距離d=

 ∵⊙O與直線BC相切

∴=． 解得=

當(dāng)=時，⊙O與直線BC相切            

（3）當(dāng)P點落在直線BC上時，則點M為AB的中點． 

故以下分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜≤1時，．  

∴ 當(dāng)＝1時，                 

② 當(dāng)1＜＜2時， 設(shè)MP交BC于E，NP交BC于F

MB=8-4，MP=MA=4

∴PE=4-（8-4）=8-8

   

 ∴ 當(dāng)時，．   

 綜上所述，當(dāng)時，值最大，最大值是8