Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于點A（-2，0）、B（4，0），與y軸相交于點C，連接BC，以線段BC為直徑作⊙M，過點C作直線CE∥AB，與拋物線和⊙M分別交于點D，E.

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）求線段DE的長；

（3）在BC下方的拋物線上有一點P，P點的橫坐標是m，△PBC的面積為S，求出S與m之間的函數關系式，并求出當m為何值時，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）2；（3），當m＝2時，S有最大值

最大值為3．

【解析】

（1）根據點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線所對應的函數關系式；
（2）連接BE，則四邊形OCEB為矩形，根據矩形的性質可知CE的長度，由拋物線與x軸交于點A、B可找出拋物線的對稱軸，結合點C在y軸上即可求出CD的長度，再利用DE=CE-CD即可求出結論；
（3）過點P作PH⊥x軸于點H，由點P的橫坐標可得出點P、H的坐標，進而可得出OH、PH、BH的長度，由拋物線所對應的函數關系式利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，進而可得出OC的長度，由S=S梯形OCPH+S△BPH-S△BOC可找出S與m之間的函數關系式，再利用配方法即可解決最值問題．

（1）將A（2，0）、B（4，0）代入函數解析式 ，

解得： ，

∴該拋物線所對應的函數關系式為

（2）連接BE，如圖1所示．

∵線段BC為⊙M的直徑，
∴∠BEC=90°．
又∵CE∥AB，∠BOC=∠OCE=90°，
∴四邊形OCEB為矩形，
∴CE=OB=4．
∵拋物線y=x2-x-3與x軸相交于點A（-2，0）、B（4，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
又∵點C在y軸上，
∴CD=1×2=2，

∴DE=CE-CD=2．
（3）過點P作PH⊥x軸于點H，如圖2所示．
∵P點的橫坐標是m，點在BC下方的拋物線上，
∴點P的坐標為（m，m2-m-3）（0＜m＜4），點H的坐標為（m，0），
∴OH=m，BH=4-m，PH=-m2+m+3．
∵拋物線y=x2-x-3與y軸相交于點C，∴點C的坐標為（0，-3），
∴OC=3，
∴S=S梯形OCPH+S△BPH-S△BOC，
=（OC+PH）OH+BHPH-OBOC，
=×（3-m2+m+3）×m+×（4-m）×（-m2+m+3）-×4×3，
=-m2+3m=-（m-2）2+3，
∵-＜0，
∴當m=2時，S有最大值，最大值為3．
綜上所述：S與m之間的函數關系式為S=-m2+3m（0＜m＜4），當m=2時，S有最大值，最大值為3．