Question

（2012•麗水）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y=x²在第二象限上的點(diǎn)，連接OA，過點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

-1

時(shí)，矩形AOBC是正方形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-

1

2

時(shí)，
①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②將拋物線y=x²作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得到拋物線y=-x²，試判斷拋物線y=-x²經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，從而得到△AOD是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（-a，a），然后利用點(diǎn)A在拋物線上，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可得解；
（2）①過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，先利用拋物線解析式求出AE的長(zhǎng)度，然后證明△AEO和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OF與BF的關(guān)系，然后利用點(diǎn)B在拋物線上，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算即可得解；
②過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G，可以證明△AEO和△BGC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點(diǎn)A、B的拋物線解析式，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所求解析式進(jìn)行驗(yàn)證變換后的解析式是否經(jīng)過點(diǎn)C，如果經(jīng)過點(diǎn)C，把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫出變換過程即可．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=90°-45°=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，a）（a≠0），
則（-a）²=a，
解得a₁=1，a₂=0（舍去），
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)-a=-1，
故答案為：-1；

（2）①過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，
當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，y=（-

1

2

）²=

1

4

，
即OE=

1

2

，AE=

1

4

，
∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，
∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
又∵∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴

OF

BF

=

AE

EO

=

1 4

1 2

=

1

2

，
設(shè)OF=t，則BF=2t，
∴t²=2t，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴點(diǎn)B（2，4）；

②過點(diǎn)C作CG⊥FB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，
∴∠EAO=∠CBG，
在△AEO和△BGC中，

∠AEO=∠G=90° ∠EAO=∠CBG AO=CB

，
∴△AEO≌△BGC（AAS），
∴CG=OE=

1

2

，BG=AE=

1

4

．
∴x_c=2-

1

2

=

3

2

，y_c=4+

1

4

=

17

4

，
∴點(diǎn)C（

3

2

，

17

4

），
設(shè)過A（-

1

2

，

1

4

）、B（2，4）兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=-x²+bx+c，由題意得，

- 1 4 - 1 2 b+c= 1 4 -4+2b+c=4

，
解得

b=3 c=2

，
∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=-x²+3x+2，
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，y=-（

3

2

）²+3×

3

2

+2=

17

4

，所以點(diǎn)C也在此拋物線上，
故經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=-x²+3x+2=-（x-

3

2

）²+

17

4

．
平移方案：先將拋物線y=-x²向右平移

3

2

個(gè)單位，再向上平移

17

4

個(gè)單位得到拋物線y=-（x-

3

2

）²+

17

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，包括正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大，要注意利用點(diǎn)的對(duì)稱、平移變換來解釋拋物線的對(duì)稱平移變換，利用點(diǎn)研究線也是常用的方法之一．