Question

探索：
（1）如圖（1），在△ABC中，OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的平分線．若∠A為x°，則∠BOC=

 

；
（2）如圖（2），BO、CO為△ABC兩外角∠DBC、∠BCE的平分線，若∠A為x°，則∠BOC=

 

；
（3）如圖（3）O、M分別是△ABC的內(nèi)外角平分線的交點(diǎn)，如果∠BOC：∠BMC=3：2，則∠A=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)可得，∠BOC+∠OCB=90°-

x°

2

，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BOC=90°+

x°

2

；
（2）根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCO=

1

2

（∠A+∠ABC），∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BOC=90°-

x°

2

；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論及三角形內(nèi)角和定理可得x=36°．

解答：解：（1）∵在△ABC中，OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°，
∴∠BOC+∠OCB=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

×（180°-x°）=90°-

x°

2

，
故∠BOC=180°-（90°-

x°

2

）=90°+

x°

2

；

（2）∵BO、CO為△ABC兩外角∠DBC、∠BCE的平分線∠A為x°，
∴∠BCO=

1

2

（∠A+∠ABC），∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC=180°-

1

2

[∠A+（A+∠ABC+∠ACB）]=180°-

1

2

（∠A+180°）=90°-

x°

2

；

（3）設(shè)∠A=x°，
∵O、M分別是△ABC的內(nèi)外角平分線的交點(diǎn)，由（1）（2）得∠BOC=90°+

x°

2

．∠BMC=90°-

x°

2

，
∵∠BOC：∠BMC=3：2，
即

90°+ x° 2

90°- x° 2

=

3

2

，
即3（90°-

x°

2

）=2（90°+

x°

2

），
解得x=36°
則∠A=36°．

點(diǎn)評：此類題目比較簡單，考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學(xué)階段的常規(guī)題．