Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)．
（1）猜一猜，MN與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如果∠BCD=45°，BD=2，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△ABC中，中線BM=AC；在直角△ADC中，DM=；在△BMD中，N是中點(diǎn)，所以，根據(jù)這些條件很容易推出MN⊥BD；
（2）在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的補(bǔ)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和，根據(jù)三角形的這一性質(zhì)，求得∠BMD=2∠BAD=90°，所以MN=．
解答：解：（1）猜想MN⊥BD．
證明：連接BM，DM，∵∠ABC=90°，
AM=MC，
∴，
同理，
∴BM=DM，
∵BN=ND，
∴MN⊥BD

（2）∵AM=BM，
∴∠BMC=∠MAB+∠ABM=2∠BAM，
同理∠CMD=2∠CAD，
∴∠BMD=2∠BCD=90°，
∵BM=MD，
∴△BMD是等腰直角三角形（9分），
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)．在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；在一個(gè)三角形中，只要有兩個(gè)邊相等，那么這個(gè)三角形就是等腰三角形．