Question

如圖，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，B（2，0），經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線y=x²-2x+k與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）⊙B是以點(diǎn)B為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓，以點(diǎn)D為圓心的⊙D與直線BC相切，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：⊙B與⊙D的位置關(guān)系；
（3）在直線AD下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形APDC的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形APDC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²-2x+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，0），
∴×4-2×2+k=0，k=3；
故拋物線的解析式：y=x²-2x+3．

（2）由（1）的拋物線解析式知：A（0，3）、D（6，0）；
設(shè)⊙D與直線BC的切點(diǎn)為E，連接DE，則 DE⊥BE；
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠BDE=90°-∠DBE，又∠AOB=∠BED=90°，
∴△AOB∽△BED，有：=，即 =，r=≈2.2；
∴2.2-2＜BD＜2.2+2，即r_D-r_B＜BD＜r_D+r_B
∴⊙B與⊙D的位置關(guān)系為相交．

（3）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)C（x，x²-2x+3），則 CF=x²-2x+3，BF=x-2；
同（2）可證得：Rt△AOB∽R(shí)t△BFC，有：
=，即 =
解得：x₁=2（舍）、x₂=；
則C（，），CF=，DF=OF-OD=-6=；
故S_△ADC=S_梯形AOFC-S_△AOD-S_△CDF
=×（3+）×-×3×6-××
=；
由A（0，3）、D（6，0）得，直線AD：y=-x+3；
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AD于點(diǎn)Q；設(shè)點(diǎn)P（x，x²-2x+3），則Q（x，-x+3），PQ=（-x+3）-（x²-2x+3）=-x²+x；
則S_△APD=×PQ×OD=×（-x²+x）×6=-x²+x；
則S_{四邊形APDC}=S_△ADC+S_△APD=-x²+x+=-（x-3）²+；
綜上，當(dāng)x=3，即 P（3，-）時(shí)，四邊形APDC的面積最大，且最大值為．
分析：（1）直接將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可確定待定系數(shù)的值．
（2）此題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)（由此得到BD的距離）以及⊙D的半徑，首先由拋物線的解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再連接圓心D與切點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形來(lái)解．然后通過(guò)比較兩圓的半徑以及BD的長(zhǎng)來(lái)得到兩圓的位置關(guān)系．
（3）由于∠ABC是直角，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形可以求出點(diǎn)C的坐標(biāo)表達(dá)式，再代入拋物線的解析式中可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后通過(guò)圖形間的面積和差關(guān)系求出△ADC的面積；若△APDC的面積最大，那么△APD的面積最大（因?yàn)椤鰽DC的面積是定值），可先求出直線AD的解析式，然后過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線，交直線AD于Q，在表達(dá)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)后，可得到線段PQ的表達(dá)式，以PQ為底，點(diǎn)A、D橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值為高，可求出△APD的面積，由此可得四邊形APDC的面積與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出四邊形APDC的最大面積以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、相似三角形的應(yīng)用、圓與圓的位置關(guān)系、圖形面積的解法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等重點(diǎn)知識(shí)；在解題過(guò)程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用．