Question

如圖，A、B、C、D是圓周上的四個點(diǎn)，

AB

+

CD

=

AC

+

BD

，且弦AB=8，弦CD=4，則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是

 

（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）．

Answer 1

分析：易得弧AB，CD是一個半圓弧，我們將C點(diǎn)轉(zhuǎn)到與A點(diǎn)重合處，那么O、B、D′就在一條直線上，而且是一直徑，所以陰影部分的面積=半圓的面積-一個直角三角形的面積，然后依面積公式計(jì)算即可．

解答：
解：∵

AB

+

CD

=

AC

+

BD

，
∴弧AB，CD就是一個半圓弧，
則B、O、D′就在一條直線上，而且BD′是一直徑，
∴∠D′AB=90°，弧AD′=弧CD，
∴AD′=CD=4，
在Rt△CAB中，由勾股定理得：BD′=

82+42

=4

5

，
∴OB=2

5

，
∴陰影部分的面積=

1

2

S_⊙O-S_△D′AB
=π×（2

5

）²×

1

2

-

1

2

×4×8
=15.4．

點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是作輔助線，從圖中看出陰影部分的面積=半圓的面積-一個直角三角形的面積．