【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3,0),B(9,0)和C(0,4).CD垂直于y軸,交拋物線于點(diǎn)D,DE垂直與x軸,垂足為E,l是拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn).

(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式以及點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)若RtAOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對(duì)稱軸l重合,再沿對(duì)稱軸l向上平移到點(diǎn)C與點(diǎn)F重合,得到RtA1O1F,求此時(shí)RtA1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形的面積;

(3)若RtAOC沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度(0<t≤6)得到RtA2O2C2,RtA2O2C2與RtOED重疊部分的圖形面積記為S,求St之間的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量t的取值范圍.

【答案】1D6,4);y=﹣x2+x+4;(2;(3)當(dāng)0t≤3時(shí),S=t2,當(dāng)3t≤6時(shí),S=t2﹣3t+12

【解析】試題分析:(1)用待定系數(shù)法求拋物線解析式;(2)由GH∥A1O1,求出GH=1,再求出FH,S重疊部分=SA1O1F﹣SFGH計(jì)算即可;(3)分兩種情況直接用面積公式計(jì)算,用面積差求出即可.

試題解析:(1拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A﹣3,0),B9,0)和C0,4).

設(shè)拋物線的解析式為y=ax+3)(x﹣9), ∵C0,4)在拋物線上, ∴4=﹣27a

∴a=﹣, 設(shè)拋物線的解析式為y=﹣x+3)(x﹣9=﹣x2+x+4

∵CD垂直于y軸,C0,4∴﹣x2+x+4=4, ∴x=6, ∵D6,4),

2)如圖1, 點(diǎn)F是拋物線y=﹣x2+x+4的頂點(diǎn),∴F3,), ∴FH=,

∵GH∥A1O1, , , ∴GH=1,

∵Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分是梯形A1O1HG,

∴S重疊部分=SA1O1F﹣SFGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=

3當(dāng)0t≤3時(shí),如圖2, ∵C2O2∥DE, , , ∴O2G=t,

∴S=SOO2G=OO2×O2G=t=t2,

當(dāng)3t≤6時(shí),如圖3, ∵C2H∥OC, , ∴C2H=6﹣t),

∴S=S四邊形A2O2HG=SA2O2C2﹣SC2GH=OA×OC﹣C2t﹣3=×3×4﹣×6﹣t)(t﹣3=t2﹣3t+12

當(dāng)0t≤3時(shí),S=t2,當(dāng)3t≤6時(shí),S=t2﹣3t+12

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試探究下列問(wèn)題:
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(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上,且CE=DF,此時(shí),上述結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)寫出證明過(guò)程,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,連接AE和EF,若點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),請(qǐng)判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種,并證明你的結(jié)論.

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①求的值.

②當(dāng)m=2,△BPD為等腰直角三角形,直接寫出a的值.

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