Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點O是斜邊AB上一動點，以OA為半徑作⊙O與AC邊交于點P，

小題1:當OA=時，求點O到BC的距離
小題2:如圖2，當OA=時，求證：直線BC與⊙O相切；此時線段AP的長是多少？

小題3:若BC邊與⊙O有公共點，直接寫出 OA
的取值范圍；
小題4:若CO平分∠ACB，則線段AP的長是多少？

Answer 1

 
小題1:解：在Rt△ABE中，．  ……………  1分
過點O作OD⊥BC于點D，則OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB， ∴，  ∴，  ∴，
∴點O到BC的距離為．     …………………………………………………    3分
小題2:證明：過點O作OE⊥BC于點E， OF⊥AC于點F，
∵△OEB∽△ACB， ∴ ∴，  ∴．
∴直線BC與⊙O相切．        ………………………………………………… 5分
此時，四邊形OECF為矩形，
∴AF=AC-FC=3-=，
∵OF⊥AC，
∴AP=2AF=．                …………………………………………………   7分
小題3:；            …………………………………………………  9分
小題4:點O作OG⊥AC于點G， OH⊥BC于點H，
則四邊形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形． ………………… 10分
設正方形OGCH的邊長為x，則AG=3-x，
∵OG∥BC，
∵△AOG∽△ABC，  ∴， ∴ ，
∴，
∴，
∴AP=2AG=．              …………………………………………………    12分

略