Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣2，0）、B（4，0），其頂點為D，連接BD，點P是線段BD上的一個動點（不與B、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）設P點的坐標為（x，y），△PBE的面積為S，求S與x之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取值最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為點P′，請直接寫出P′點的坐標，并判斷點P′是否在該拋物線上.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）經過A（﹣2，0）、B（4，0）兩點

∴把（﹣2，0）、B（4，0）代入拋物線得：a=﹣，b=1，

∴拋物線解析式為：y=﹣x2+x+4．

∴頂點D的坐標為（1，）；

（2）

解：設直線BD解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、D兩點坐標代入，

得，

解得k=﹣，b=6，

直線BD解析式為y=﹣x+6，

S=PEOE，

S=PEOE=xy=x（﹣x+6）=﹣x2+3x，

∵頂點D的坐標為（1，），B（4，0）

∴1＜x＜4，

∴S=﹣x2+3x（1＜x＜4），

S=﹣（x2﹣4x++4）+3，

=﹣（x﹣2）2+3，

∴當x=2時，S取得最大值，最大值為3.

（3）

解：當S取得最大值，x=2，y=3，

∴P（2，3），

∴四邊形PEOF是矩形．

作點P關于直線EF的對稱點P′，連接P′E，P′F．

過P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點M，

設MC=m，則MF=m，P′M=3﹣m，P′E=2，

在Rt△P′MC中，由勾股定理，

22+（3﹣m）2=m2，

解得m=，

∵CMP′H=P′MP′E，

∴P′H=，

由△EHP′∽△EP′M，

可得=，

∴=，

解得：EH=．

∴OH=3﹣=．

∴P′坐標（﹣，）．不在拋物線上．

【解析】（1）本題需先根據拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）經過A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線y=ax2+bx+4即可求出它的解析式．
（2）本題首先設出BD解析式y=kx+b，再把B、D兩點坐標代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據面積公式即可求出最大值．
（3）本題需先根據（2）得出最大值來，求出點P的坐標，得出四邊形PEOF是矩形，再作點P關于直線EF的對稱點P′設出MC=m，則MF=m．從而得出P′M與P′E的值，根據勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐標，判斷出不在拋物線上．