Question

如圖，是某空軍部隊進(jìn)行射擊訓(xùn)練時在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，在地面O、A兩個觀測點(diǎn)測得空中固定目標(biāo)C的仰角分別是α和β，OA=1千米，tanα=

9

28

，tanβ=

3

8

，位于O點(diǎn)的正上方

5

3

千米D點(diǎn)處的直升飛機(jī)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈，該導(dǎo)彈運(yùn)行達(dá)到距地面最大3千米時，相應(yīng)水平距離為4千米．（即圖中E點(diǎn)）
（1）若導(dǎo)彈運(yùn)行軌道為一拋物線，求該拋物線的解析式；
（2）按以上軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)C？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意得拋物線頂點(diǎn)E（4，3），經(jīng)過D（0，

5

3

），這頂點(diǎn)式，可求拋物線解析式；
（2）過C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F，解直角三角形OCF、ACF，可得CF，OF的長，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，判斷點(diǎn)C是否滿足拋物線解析式．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3）．
∴設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-4）²+3．
將D（0，

5

3

）代入得，a=-

1

12

．
∴y=-

1

12

（x-4）²+3
=-

1

12

x²+

2

3

x+

5

3

．

（2）過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，tanα=

CF

OF

．
∵tanα=

9

28

，

9

28

=

CF

OF

，
∴OF=

28

9

CF．
∵tanβ=

3

8

，
∴

CF

AF

=

3

8

，∴AF=

8

3

CF．
∵OF-AF=OA=1，
∴

28

9

CF-

8

3

CF=1，
∴CF=

9

4

，OF=

28

9

CF=

28

9

×

9

4

=7，
∴C（7，

9

4

）．
把x=7代入y=-

1

12

x²+

2

3

x+

5

3

．
得y=

9

4

．
∴點(diǎn)C在拋物線上，
∴導(dǎo)彈能擊中目標(biāo)C．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．