Question

一等腰梯形兩組對邊中點連線段的平方和為8，則這個等腰梯形的對角線長為

 

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Answer 1

分析：首先由等腰梯形的性質，求得MN⊥BC，EF=

1

2

（AD+BC），然后過點D作DK∥AC交BC的延長線于K，過點D作DH⊥BC于H，即可得四邊形ACKD是平行四邊形，四邊形MNHD是矩形，則可得△BDK是等腰三角形，由三線合一的知識，可得BH=EF，在Rt△BDH中由勾股定理即可求得答案．

解答：已知：如圖，AD∥BC，AB=CD，E，N，F(xiàn)，M分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，且EF²+MN²=8．
求：這個等腰梯形的對角長．
解：過點D作DK∥AC交BC的延長線于K，過點D作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，AB=CD，E，N，F(xiàn)，M分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，
∴EF=

1

2

（AD+BC），MN⊥BC，AC=BD，
∴四邊形ACKD是平行四邊形，
∴DK=AC=BD，CK=AD，
∴BH=KH=

1

2

BK=

1

2

（BC+CK）=

1

2

（BC+AD），
∴BH=EF，
∵四邊形MNHD是矩形，
∴DH=MN，
∴在Rt△BDH中，BD²=BH²+DH²=EF²+MN²=8，
∴BD=2

2

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∴這個等腰梯形的對角線長為2

2

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故答案為：2

2

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點評：此題考查了等腰梯形的性質，平行四邊形與矩形的性質與判定以及等腰三角形，直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，而且需要同學們將文字語言翻譯成數(shù)學語言，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．