精英家教網(wǎng)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BF為⊙O的切線,∠AEB=90°,∠ABE=30°,過O作OD⊥BE,垂足為D,延長OD交BF于點C,求證:△ABE≌△OCB.
分析:由∠AEB=90°,根據(jù)圓周角定理的推論得到AB是⊙O的直徑,而∠ABE=30°,則AE=
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AB=OB;再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBC=90°;易證得AE∥OD,得∠EAB=∠DOB,然后根據(jù)三角形全等的判定即可得到結(jié)論.
解答:證明:∵∠AEB=90°,
∴AB是⊙O的直徑,
在△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=30°,
∴AE=
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AB=OB,
又∵BF為⊙O的切線,OB為半徑,
∴OB⊥BC,即∠OBC=90°,
∴∠AEB=∠OBC,
∵OD⊥BE,
∴∠ODB=∠AEB=90°,
∴AE∥OD,
∴∠EAB=∠DOB,
在△ABE和△OCB中,
∠AEB=∠OBC,AE=OB,∠EAB=∠COB,
∴△ABE≌△OCB.
點評:本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了圓周角定理的推論、三角形全等的判定以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
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