精英家教網(wǎng)以關于m的方程m2+（k-4）m+k=0的最大整數(shù)根為直徑作⊙O．P為⊙O外一點，過P作切線PA和割線PBC，如圖，A為切點．這時發(fā)現(xiàn)PA、PB、PC都是整數(shù)，且PB、BC都不是合數(shù)，求PA、PB、PC的長．
分析：運用根與系數(shù)的關系以及切割定理得出根的取值范圍，進而確定z的取值，從而解決．
解答：解：設方程兩根為m1、m2則
m1+m2=4-k，①
m1m2=k．②

又設PA=x，PB=y，BC=z，則x﹑y﹑z都是正整數(shù)．
由切割線定知
PA2=PB•PC=PB（PB+BC），
即x2=y2+yz?（x+y）（x-y）=yz．③
消去①和②中的k，得
m1m2=4-m1-m2．
整理分解，得
（m1+1）（m2+1）=5．
因為⊙O的直徑是方程的最大整數(shù)根，不難求得最大整根m=4．進而，z=BC≤4．
又正整數(shù)z不是合數(shù)，故z=3，2，1．
當z=3時，（x+y）（x-y）=3y，有
x+y=3
x-y=y
x+y=y
x-y=3
x+y=3y
x-y=1.

可得適合題意的解為x=2，y=1．
當z=1和z=2時，沒有適合題意的解，
所以，PA=x=2，PB=y=1，PC=y+z=4．
點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及切割線定理，綜合性較強．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知C是以AB為直徑的半圓上的一點，AB=10，CD⊥AB于D點，以AD、DB為直徑畫兩個精英家教網(wǎng)半圓，EF是這兩個半圓的外公切線，E、F為切點．
（1）求證：CD=EF；
（2）求證：四邊形EDFC是矩形；
（3）若DB=|m|，則m是使關于x的方程x2+2（m-1）x+m2+3=0的兩個實根的平方和為22的實數(shù)值，求矩形EDFC的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知，如圖，在直角坐標系內，△ABC的頂點在坐標軸上，關于x的方程x2-4x+m2-2m+5=0有實數(shù)根，并且AB、AC的長分別是方程兩根的5倍．
（1）求AB、AC的長；
（2）若tan∠ACO=
43
，P是AB的中點，求過C、P兩點的直線解析式；
（3）在（2）問的條件下，坐標平面內是否存在點M，使以點O、M、P、C為頂點的四邊形是平精英家教網(wǎng)行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知關于x的方程x2+（2m-3）x+m2+6=0的兩根x1，x2的積是兩根和的兩倍，①求m的值；②求作以
1
x1
，
1
x2
為兩根的一元二次方程．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

以關于m的方程m2+（k-4）m+k=0的最大整數(shù)根為直徑作⊙O．P為⊙O外一點，過P作切線PA和割線PBC，如圖，A為切點．這時發(fā)現(xiàn)PA、PB、PC都是整數(shù)，且PB、BC都不是合數(shù)，求PA、PB、PC的長．

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