Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，DB=BC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF=

1

2

AB；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AG∥EF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：△ABE≌△AGE．

Answer 1

分析：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半從而得到EF=

1

2

AB，根據(jù)已知利用SAS來(lái)判定△ABE≌△AGE．

解答：證明：（1）連接BE，（1分）
∵DB=BC，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴BE⊥CD．（2分）
∵點(diǎn)F是Rt△ABE中斜邊上的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

AB；（3分）

（2）[方法一]在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，
∴EF是△ABG的中位線，
∴BE=EG．（3分）
在△ABE和△AGE中，AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE；（3分）

[方法二]由（1）得，EF=AF，
∴∠AEF=∠FAE．（1分）
∵EF∥AG，
∴∠AEF=∠EAG．（1分）
∴∠EAF=∠EAG．（1分）
∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，
∴△ABE≌△AGE．（3分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的掌握情況．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．