【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=4,動點E從點A出發(fā)向點D運動,同時動點F從點D出發(fā)向點C運動,點E、F運動的速度相同,當它們到達各自終點時停止運動,運動過程中線段AF、BE相交于點P,M是線段BC上任意一點,則MD+MP的最小值為.

【答案】

【解析】試題分析:本題主要考查的是最短路徑問題,由軸對稱圖形的性質和正方形的性質確定出點P的位置是解題的關鍵.首先作出點D關于BC的對稱點D′,從而可知當點PM、D′在一條直線上時,路徑最短,當點E與點D重合,點F與點C重合時,PGGD′均最短,即PD′最短,然后由正方形的性質和軸對稱圖形的性質可知:PG=2,GD′=6,最后由勾股定理即可求得PD′的長,從而可求得MD+MP的最小值.

如圖作點D關于BC的對稱點D′,連接PD′,由軸對稱的性質可知:MD=D′MCD=CD′=4,

∴PM+DM=PM+MD′=PD′,過點PPG垂直于C,垂足為G,易證AF⊥BE,故可知P的軌跡為以AB為直徑的四分之一圓弧,當點E與點D重合,點F與點C重合時,PGGD′均最短, 此時PD′最短.

四邊形ABCD為正方形,

∴PG=AD=2,GC=DC=2

∴GD′=6

Rt△PGD′中,由勾股定理得:PD′==2

故答案為2.

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