如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BE=x.
操作:在射線BC上取一點(diǎn)F,使得EF=BE,以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)、EF為邊作等腰直角三角形EFG,設(shè)△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S.
(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(2)S是否存在最大值?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出最大值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
 
(1)①當(dāng)0<x≤1時(shí), S=EF•FG=x2(0<x≤1);
②當(dāng)1<x≤1.5時(shí),S=(MN+EF)FN=x﹣(1<x≤1.5);
③當(dāng)1.5<x≤2時(shí),S=(MD+EC)CD=﹣x+(1.5<x≤2)
④當(dāng)2<x<3時(shí), S=CE•CM=x2﹣3x+(2<x<3);
(2)存在,其最大值為1.

試題分析:(1)本題要分情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)EF≤CD,即當(dāng)0<x≤1時(shí),重合部分是△EFG,兩直角邊的長(zhǎng)均為x,由此可得出S,x的函數(shù)關(guān)系式.
②當(dāng)CD<EF≤BC,即當(dāng)1<x≤1.5時(shí),重合部分是個(gè)梯形,可用相似三角形求出梯形的上底的長(zhǎng),進(jìn)而根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式得出S,x的函數(shù)關(guān)系式.
③當(dāng)EF>BC,但D在EG上或EG右側(cè),即當(dāng)1.5<x≤2時(shí),此時(shí)重合部分是個(gè)梯形,如果設(shè)EG與AD相交于點(diǎn)M,AD的延長(zhǎng)線與FG相交于點(diǎn)N,可先在相似三角形GMN和GEF中求出MN的長(zhǎng),而后根據(jù)MD=MN﹣DN求出梯形的上底長(zhǎng),進(jìn)而可按梯形的面積計(jì)算公式得出S,x的函數(shù)關(guān)系式.
④當(dāng)EF在D點(diǎn)右側(cè)時(shí),即當(dāng)2<x<3時(shí),重合部分是個(gè)三角形,先用x表示出兩直角邊的長(zhǎng),然后按①的方法進(jìn)行求解即可.
(2)按上面分析的四種情況,分別進(jìn)行求解,得出不同自變量的取值范圍內(nèi)S的最大值,然后進(jìn)行比較即可得出S的最大值.
(1)①當(dāng)0<x≤1時(shí),F(xiàn)G=EF=x<1=AB(如圖1),
∴S=EF•FG=x2(0<x≤1);
②當(dāng)1<x≤1.5時(shí),F(xiàn)G=EF=x>1=AB(如圖2),
設(shè)EG與AD相交于點(diǎn)M,F(xiàn)G與AD相交于點(diǎn)N,
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠GNM=∠GEF=45°,∠GNM=∠GFE=90°
∴∠MGN=45°
∴MN=GN=x﹣1
S=(MN+EF)FN=x﹣(1<x≤1.5);
③當(dāng)1.5<x≤2時(shí),(如圖3),設(shè)EG與AD相交于點(diǎn)M,AD的延長(zhǎng)線與FG相交于點(diǎn)N,
∵四邊形ABCD是矩形
∴AN∥BF
同理MN=GN=x﹣1
∵∠FNM=∠GFE=∠DCF=90°
∴四邊形DCFN是矩形
DN=CF=BF﹣BC=2x﹣3,
MD=MN﹣DN=(x﹣1)﹣(2x﹣3)=2﹣x
S=(MD+EC)CD=﹣x+(1.5<x≤2)
④當(dāng)2<x<3時(shí),(如圖4),
設(shè)EG與CD相交于點(diǎn)M
∵四邊形ABCD是矩形,△EFG是等腰直角三角形,
∴∠MCE=90°,∠MEC=45°=∠CME
∴CM=CE=3﹣x
∴S=CE•CM=x2﹣3x+(2<x<3);

(2)存在,其最大值為1.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P為圓心的圓始終與y軸相切,設(shè)切點(diǎn)為A.
(1)如圖1,⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切,設(shè)切點(diǎn)為K,試判斷四邊形OKPA的形狀,并說(shuō)明理由.
(2)如圖2,⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交,設(shè)交點(diǎn)為B,C.當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí):
①求出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).
②在過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△MBP的面積是菱形ABCP面積的?若存在,試求出所有滿(mǎn)足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,試說(shuō)明理由.

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如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,正方形OCBA的頂點(diǎn)A,C分別在y軸,x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6,6),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B兩點(diǎn),且3a-b=-1.
(1)求a,b,c的值;
(2)如果動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn)同時(shí)分別從點(diǎn)A,點(diǎn)B出發(fā),分別沿A→B,B→C運(yùn)動(dòng),速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E,F(xiàn)隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△EBF的面積為S.
①試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
②當(dāng)S取得最大值時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以E,B,R,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出點(diǎn)R的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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如果二次函數(shù)的最小值為負(fù)數(shù),則m的取值范圍是(   )
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A.B.
C. D.

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(1)求當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合?
(2)設(shè)△QCD的面積為S,試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值;
(3)若⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍.

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將二次函數(shù)化為的形式,結(jié)果為(  )
A.B.
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