Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0），B（0，1），C（2，）．
（Ⅰ）直線l：y=kx+b過A、B兩點，求k、b的值；
（Ⅱ）求過A、B、C三點的拋物線Q的解析式；
（Ⅲ）設（Ⅱ）中的拋物線Q的對稱軸與x軸相交于點E，那么在對稱軸上是否存在點F，使⊙F與直線l和x軸同時相切？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵直線y=kx+b過A、B兩點，
∴
解這個方程組，
得k=1，b=1．

（Ⅱ）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有：
解這個方程組，
得
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+1．

（Ⅲ）存在⊙F與直線l和x軸同時相切．
易知拋物線Q的對稱軸為x=2，
①當圓心F在x軸的上方時，
設點F的坐標為（2，y₀），把x=2代入y=x+1，
得y=3．
∴拋物線Q的對稱軸與直線l的交點為M（2，3）．
∴EF=y₀，ME=3，MF=ME-EF=3-y₀．
由直線l：y=x+1知，
∠NMF=45度．
∴△MNF是等腰直角三角形
∴MF=NF=EF
∴3-y₀=y₀
∴y₀=3-3
∴點F的坐標為（2，3-3）．
②當圓心F在x軸的下方時，設點F的坐標為（2，y₀），則MF=3-y₀，F(xiàn)E=-y₀．
由△MNF為等腰直角三角形，得3-y₀=y₀，
∴y₀=-3-3
∴點F的坐標為（2，-3-3）．
分析：（1）直線l：y=kx+b過A、B兩點，把這兩點的坐標代入函數(shù)解析式，就可以得到關于k，b的方程組，就可以求出k，b的值．
（2）A、B、C三點的坐標已知，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）對稱軸上是否存在點F，使⊙F與直線l和x軸同時相切，應分F在x軸的上方和下方兩種情況進行討論．當F在x軸的上方時，設直線l與x軸的交點是P，則PF是三角形MPE的角平分線，根據(jù)三角形角平分線的性質就可以求出F的坐標．
當F在x軸的下方時，△MNF為等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的性質就可以求出F點的坐標．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．利用數(shù)形結合的方法解決本題，理解圖形中圓與直線的關系是解題的關鍵．