Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x²+mx+n（n≠0）與直線y=x交于A、B兩點，與y軸交于點C，OA=OB，BC∥x軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點（點E在點D的上方），DE=

2

，過D、E兩點分別作y軸的平行線，交拋物線于F、G，若設(shè)D點的橫坐標為x，四邊形DEGF的面積為y，求x與y之間的關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并回答x為何值時，y有最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象上點的坐標特點和函數(shù)圖象交點與函數(shù)解析式組成的方程組的解之間的關(guān)系，求出B點坐標，再根據(jù)正比例函數(shù)圖象上點的中心對稱性，求出A點坐標，用待定系數(shù)法求解即可．
（2）根據(jù)各點坐標求出表示線段長的解析式，因為DF∥EG，可將四邊形DEGF作為梯形來對待求其面積．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²+mx+n與y軸交于點C
∴C（0，n）
∵BC∥x軸
∴B點的縱坐標為n
∵B、A在y=x上，且OA=OB
∴A（-n，-n），B（n，n）
∴

1 2 n2+mn+n=n 1 2 n2-mn+n=-n

解得：n=0（舍去），n=-2；m=1
∴所求解析式為：y=

1

2

x²+x-2

（2）作DH⊥EG于H
∵D、E在直線y=x上
∴∠EDH=45°
∴DH=EH
∵DE=

2

∴DH=EH=1
∵D（x，x）
∴E（1+x，1+x）
∴F的縱坐標：

1

2

x²+x-2，
G的縱坐標：

1

2

（x+1）²+（x+1）-2
∴DF=x-（

1

2

x²+x-2）=2-

1

2

x²，EG=（x+1）-[

1

2

（x+1）²+（x+1）-2]=2-

1

2

（x+1）²
∴y=

1

2

[2-

1

2

x²+2-

1

2

（x+1）²]×1
y=-

1

2

x²-

1

2

x+

7

4

，
y=-

1

2

（x+

1

2

）²+

15

8

，
∴x的取值范圍是-2＜x＜1．當(dāng)x=-

1

2

時，y最大值=

15

8

．

點評：此題是一道典型的數(shù)形結(jié)合性題目，通過坐標和函數(shù)解析式把面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題是解答此題的關(guān)鍵．