Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓D與y軸相切于點(diǎn)C（0，4），與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且AB=6．

（1）則D點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ， ），圓的半徑為；
（2）sin∠ACB=；經(jīng)過C、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為F，證明直線FA與圓D相切；
（4）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)N，使△CBN面積最大，最大值是多少，并求出N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）5；4；5
（2）；y= x2﹣ x+4
（3）

證明：因?yàn)镈為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)：F（5，﹣ ），DF=4+ = ，AF= = ，

∵DA2+AF2=52+（ ）2= =（ ）2=DF2，

∴∠DAF=90°

所以AF切于圓D

（4）

解：存在點(diǎn)N，使△CBN面積最大．

根據(jù)點(diǎn)B及點(diǎn)C的坐標(biāo)可得：直線BC的解析式為：y=﹣ x+4，

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)（a， ），過點(diǎn)N作NP與y軸平行，交BC于點(diǎn)P，

可得P點(diǎn)坐標(biāo)為（a， ），

則NP= ﹣（ ）=

故S△BCN=S△BPN+S△PCN= ×PN×OH+ ×PN×BH= PN×BO= ×8×（ ）=16﹣（a﹣4）2

當(dāng)a=4時，S△BCN最大，最大值為16，此時，N（4，﹣2）

【解析】（1）解：連接DC，則DC⊥y軸，

過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE垂直平分AB，
∵AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD= = =5，
故可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，4），圓的半徑為5；
·（2）解：在Rt△AOC中，AC= = =2 ，
在Rt△BOC中，BC= = =4 ，
∵S△ABC= AC×BCsin∠ACB= AB×CO，
∴sin∠ACB= = ；
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c，
將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得： ，
解得： ，
故經(jīng)過C、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y= x2﹣ x+4．