Question

已知：在?ABCD中，AC、BD相交與點(diǎn)O，延長DC至E，使CE=DC，連接AE交BC于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：四邊形ABEC為平行四邊形．
（2）試判斷OF與AB的關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形ABEC為平行四邊形．
（2）根據(jù)“平行四邊形的對角線互相平分”的性質(zhì)推知OF是△ABC的中位線，所以O(shè)F∥AB，且OF=AB．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴AB∥CD，且AB=CD（平行四邊形的對邊平行且相等）．
又∵點(diǎn)E在DC的延長線上，CE=DC，
∴AB∥CE，AB=CE，
∴四邊形ABEC為平行四邊形（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

（2）解：OF∥AB，且OF=AB．理由如下：
∵點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)．
又∵點(diǎn)F是平行四邊形ABEC的兩條對角線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF∥AB，且OF=AB．
點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．