Question

（1997•新疆）已知如圖⊙A和⊙B外切于點(diǎn)P，它們的半徑分別為R和r，CD是它們的外公切線，切點(diǎn)分別為C、D，且

CP

的弧長(zhǎng)為1．
（1）求證：S_陰影=

(CD-1)R+r•CD

2

（2）當(dāng)R=6cm，r=2cm時(shí)，求S陰影．

Answer 1

分析：（1）首先連接AP、AC，易得四邊形ACDB是直角梯形，即可得S_梯形ACDB=

1

2

（AC+BD）•CD=

1

2

（R+r）•CD，又由

CP

的弧長(zhǎng)為1，即可求得S_扇形CAP=

1

2

×1×R=

1

2

R，繼而證得S_陰影=

(CD-1)R+r•CD

2

；
（2）過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，易求得BE的長(zhǎng)，然后代入公式，求得S陰影．

解答：（1）證明：連接AP、AC，
∵CD是⊙A、⊙B的公切線，
∴四邊形ACDB是直角梯形，
∴S_梯形ACDB=

1

2

（AC+BD）•CD=

1

2

（R+r）•CD，
∵

CP

的弧長(zhǎng)為1，
∴S_扇形CAP=

1

2

×1×R=

1

2

R，
∴S_陰影=S_梯形ACDB-S_扇形CAP=

1

2

（R+r）•CD-

1

2

R=

(CD-1)R+r•CD

2

；

（2）解：過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，
∵CD是它們的外公切線，切點(diǎn)分別為C、D，
∴AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四邊形BDCE是矩形，
∴BE=CD，AE=AC-BD=R-r=6-2=4（cm），
∵AB=AP+PB=6+2=8（cm），
 在Rt△ABE中，BE=

AB2-AE2

=4

3

（cm），
∴CD=4

3

cm，
∴S_陰影=

(CD-1)R+r•CD

2

=

(4 3 -1)×6+2×4 3

2

=16

3

-3（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積、梯形的面積以及矩形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．