Question

【題目】菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，∠AED=45°，P是菱形上一點(diǎn)，若△AEP是以AE為直角邊為直角三角形，則tan∠APE的值為________．

Answer 1

【答案】1或或

【解析】

本題以菱形為題目背景，綜合考查菱形的性質(zhì)，并以動(dòng)點(diǎn)問題豐富題干，考查分類討論方式，結(jié)合題干信息特殊角度，可通過做輔助線構(gòu)造特殊直角三角形以滿足求解三角函數(shù)正切值的前提，繼而通過圖形性質(zhì)求解邊長(zhǎng)比例．

∵菱形ABCD，∠ABC=30°，AC⊥BD

∴∠BAC=75°

連接CE，并延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)P1，如下圖所示

當(dāng)∠AED=45°時(shí)，∠BAE=30°，△AEC與△AEP1為直角三角形

在△AEP1中，tan∠AP1E=tan60°=

在△AEC（即△AEP2，此時(shí)點(diǎn)P2與點(diǎn)C重合）中，tan∠AP2E=tan45°=1

在△AEP3中，∠EAP3=90°，此時(shí)CP1∥AP3

設(shè)OA=，那么EC=AE=，EP1=

所以AP3=CP1=+，tan∠AP3E==÷(+)=．

綜上，tan∠APE的值為1或或．