Question

24、已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．
（1）如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，求證：AB=AC；
（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB=AC；
（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)圖表示．

Answer 1

分析：（1）求證AB=AC，就是求證∠B=∠C，可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求．過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，那么可以用斜邊直角邊定理（HL）證明直角三角形DEB和DFC全等來(lái)實(shí)現(xiàn)；
（2）思路和輔助線同（1）證得Rt△OEB≌Rt△OFC后，可得出∠OBE=∠OCF，等腰三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，因此∠OBC=∠OCB，那么OB=OC；
（3）不一定成立，當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)，有AB=AC；否則，AB≠AC．

解答：證明：（1）過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，
由題意知，OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠B=∠C，
從而AB=AC；

（2）過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足，
由題意知，OE=OF．
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠OBE=∠OCF，
又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）不一定成立．（如示例圖）

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)建全等三角形．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．