【題目】如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線在軸下方上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN//軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)MN取最大值時(shí),在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PBN是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2);(3)(2,)、(2,)、(2,)、(2,)或(2,).
【解析】
試題分析:(1)由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)以及直線BC的解析式,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式,結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo),由此即可得出線段MN的長(zhǎng)度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,再結(jié)合點(diǎn)M在x軸下方可找出m的取值范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;
(3)假設(shè)存在,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n),結(jié)合(2)的結(jié)論可求出點(diǎn)N的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)N、B的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段PN、PB、BN的長(zhǎng)度,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值,從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:(1)將點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入拋物線中,得:,解得:,∴拋物線的解析式為;
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,把點(diǎn)點(diǎn)B(3,0)代入y=kx+3中,得:0=3k+3,解得:k=﹣1,∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.∵M(jìn)N∥y軸,∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,﹣m+3).∵拋物線的解析式為=,∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2,∴點(diǎn)(1,0)在拋物線的圖象上,∴1<m<3.∵線段MN=﹣m+3﹣()==,∴當(dāng)m=時(shí),線段MN取最大值,最大值為;
(3)假設(shè)存在.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,n).
當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,),∴PB==,PN=,BN==.
△PBN為等腰三角形分三種情況:
①當(dāng)PB=PN時(shí),即=,解得:n=,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,);
②當(dāng)PB=BN時(shí),即=,解得:n=±,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,)或(2,);
③當(dāng)PN=BN時(shí),即=,解得:n=,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,)或(2,).
綜上可知:在拋物線的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)P,使△PBN是等腰三角形,點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,)、(2,)、(2,)、(2,)或(2,).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)E(﹣4,2),點(diǎn)F(﹣1,﹣1),以點(diǎn)O為位似中心,按比例1:2把△EFO縮小,則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為( )
A. (2,﹣1)或(﹣2,1) B. (8,﹣4)或(﹣8,4) C. (2,﹣1) D. (8,﹣4)
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(1)求1路車從A站到D站所走的路程(精確到0.1);
(2)在圖2、圖3和圖4的網(wǎng)格中各畫出一種從A站到D站的路線圖.(要求:①與圖1路線不同、路程相同;②途中必須經(jīng)過兩個(gè)格點(diǎn)站;③所畫路線圖不重復(fù))
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【題目】一種商品的標(biāo)準(zhǔn)價(jià)格是200元,但隨著季節(jié)的變化,商品的價(jià)格可浮動(dòng)±10%,如果以標(biāo)準(zhǔn)價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn),超過標(biāo)準(zhǔn)價(jià)格記作“+”,低于標(biāo)準(zhǔn)價(jià)格記作“-”,那么該商品價(jià)格的浮動(dòng)范圍可以怎樣表示?
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